Partie réelle, partie imaginaire - Corrigé

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Modifié par Clemni

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Énoncé

Soit $z_{1} = \frac{5 - i}{3 + 2 i}$ et $z_{2} = \frac{5 + i}{3 - 2 i}$ .

1. Vérifier que $z_{1} + z_{2}$ est un nombre réel. Que peut-on en déduire pour les parties imaginaires de $z_{1}$ et $z_{2}$ ?

2. Vérifier que $z_{1} - z_{2}$ est un imaginaire pur. Que peut-on en déduire pour les parties réelles de $z_{1}$ et $z_{2}$ ?

Solution

1. $z_{1} + z_{2} = 2$ . Donc $z_{1} + z_{2}$ est un nombre réel. Donc $Im (z_{1} + z_{2}) = 0$ , et comme $Im (z_{1} + z_{2}) = Im (z_{1}) + Im (z_{2})$ , on a $Im (z_{1}) = - Im (z_{2})$ .

2. $z_{1} - z_{2} = - 2 i$ . Donc $z_{1} - z_{2}$ est un nombre imaginaire. Donc $Re (z_{1} + z_{2}) = 0$ , et comme $Re (z_{1} + z_{2}) = Re (z_{1}) + Re (z_{2})$ , on a $Re (z_{1}) = - Re (z_{2})$ .

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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